Description

Test Matlab
Laboratoire de programmation math´ematique

A lire avant de commencer.
Commencez par bien lire l’´enonc´e puis r´epondez aux questions en n’oubliant pas de commenter ce que vous faites. Bien que tout commenter puisse parfois paraitre inutile, pensez que votre correcteur aura beaucoup de copies `a corriger et que tout ce qui peut l’aider dans sa lecture de votre copie jouera en votre faveur.
Rendez un script pour chaque exercice. Vous devez ainsi rendre six fichiers. Une fois votre travail termin´e, t´el´echargez vos fichiers r´eponse dans l’onglet “rendu devoir Matlab” du moodle correspondant `a votre sp´ecialit´e. Une fois ceci fait, n’oubliez pas de cliquer sur le bouton permettant de rendre le devoir.
Le devoir est not´e sur 25. La note sera ensuite ramen´e `a une note sur 6 comptant pour moiti´e dans votre note finale. La seconde moiti´e viendra d’un devoir ´equivalent sous Maple.
En cas de prob`eme technique, vous pouvez toujours me faire parvenir votre devoir par e-mail en dernier recours `a l’adresse nicolas.orantin@unige.ch .
Vous avez jusqu’au dimanche 10 Avril au soir (minuit) pour rendre votre devoir.
Exercice 1 Construction de matrices (3 pts).
Remarque : Vous devez rendre un script intitul´e Exercice1.m pour cet exercice.
Construisez les matrices suivantes. (Il existe toujours une m´ethode plus efficace que la construction ´el´ement par ´el´ement. Utilisez la m´ethode efficace.)
1. Construisez une matrices 20 × 20 dont tous les ´el´ements de matrice valent 1, except´e ceux sur la diagonale, valant 0.
2. Construisez une matrice 5×10 dont les ´el´ements de matrice valent 1 dans les colonnes impaires, et 2 dans les colonnes paires.
3. Construisez une matrice 7×7 avec des 1 au dessus de la diagonale et des zeros partout ailleurs.
Indication : Etant donn´e deux vecteurs colonne v et w, [v w] est la matrices dont les colonnes sont donn´ees par v et w.

Exercice 2 Orthocentre d’un triangle (6 pts).
Remarque : Vous devez rendre un script intitul´e Exercice2.m pour cet exercice. Toutes les fonctions demand´ees doivent ˆetre d´efinies dans ce mˆeme fichier script.
Dans le plan, consid´erons les points A de coordonn´ees (x1,y1), B de coordonn´ees (x2,y2) et C de coordonn´ees (x3,y3).
1. Cr´eez une fonction projection(x,y) prenant comme variables les vecteurs x = [x1,x2,x3] et y = [y1,y2,y3] et retournant les coordonn´ees (xP ,yP ) de la projection P du point A sur la droite (BC).
Testez cette fonction avec les points A = (1,2), B = (0,0) et C = (2,0). Puis dessinez le triangle ABC correspondant ainsi que le segment AP.
2. En vous aidant de la question pr´ec´edente, d´efinissez une fonction triangle(x,y) prenant comme variables la position des points A, B et C et dessinant le triangle ABC correspondant ainsi que ses trois hauteurs. Le dessin obtenu doit faire apparaitre le nom des points A, B et C ainsi que noter O le point d’intersection des trois hauteurs. Testez cette fonction pour A = (1,2), B = (0,0) et C = (2,0).
Indication : Utilisez la fonction text pour afficher le nom des points comme dans le TP 2.
3. Un point de coordonn´ees (X,Y ) appartient a la hauteur issue de A dans le triangle ABC si et seulement si X et Y satisfont l’´equation
(X − x1)(x2 − x3) + (Y − y1)(y2 − y3) = 0.
En utilisant cette information, demandez `a Matlab de trouver la position de l’orthocentre O = (X,Y ) du triangle ABC avec A = (1,2), B = (0,0) et C = (2,0). V´erifiez que ce point appartient bien aux trois hauteurs du triangle.
Indication : Le fait que O = (X,Y ) soit l’orthocentre du trianngle ABC implique que X et Y sont solution d’un syst`eme de deux ´equations lin´eaires que l’on peut mettre sous la forme d’une ´equation matricielle de taille 2 × 2.

Exercice 3 Graphe de fonctions (3 pts).
Remarque : Vous devez rendre un script intitul´e Exercice3.m pour cet exercice.
Tracez le graphe des fonctions suivantes (faire en sorte qu’il y ait la mˆeme ´echelle sur les deux axes) :

Exercice 4 Suite et r´ecurrence (3 pts).
Remarque : Vous devez rendre un script intitul´e Exercice4.m pour cet exercice.
Consid´erons la suite (xi,yi) d´efinie par r´ecurrence par les ´equations

pour des param`etres k et θ donn´es.
Construisez une fonction spir(N,k,θ,x0,y0) dessinant les points (xi,yi) pour i compris entre 0 et N d´efinis par la suite ci-dessus avec donn´ee initiale (x0,y0) et param`etres k, θ. Testez cette fonction pour N = 80, k = 0.95, θ = π/10 et (x0,y0) = (1,0).

Exercice 5 Croissance de champignons (4 pts).
Remarque : Vous devez rendre un script intitul´e Exercice5.m pour cet exercice.
Nous allons ´etudier la croissance de champignons dans un environnement prot´eg´e. Pour cela, on mesure la densit´e de champignon d(t) pour diff´erentes valeurs du temps t. Le r´esultat de l’exp´erience est pr´esent´e dans le fichier datachampi.dat disponible sur le moodle. On s’attend `a ce que cette densit´e suive une loi logistique en fonction du temps, c’est `a dire qu’elle soit de la forme

pour certaines valeurs des param`etres (d0,K,r).
1. En utilisant la fonction nlinfit comme dans le TP 3, effectuez une regression pour trouver des valeurs optimales des param`etres (d0,K,r). Pour cela, vous prendrez comme valeurs de ref´erence pour nlinfit, d0 = 1, K = 100 et r = 1.5.
2. Repr´esentez sur le mˆeme graphique le nuage de donn´es fournies par datachampi.dat ainsi que la courbe de la fonction logistique d(t) pour les param`etres trouv´es dans la question pr´ec´edente. Les donn´es seront repr´esent´ees par des ronds rouges et la fonction logistique par une courbe bleue.

Exercice 6 Simulation d’une loi Gaussienne (6 pts).
Remarque : Vous devez rendre un script intitul´e Exercice6.m pour cet exercice.
Dans cet exercice, nous allons simuler une variable al´eatoire suivant une loi Gaussienne `a partir d’une simple loi uniforme sur [0,1]. Pour ce faire, nous allons utiliser le r´esutat suivant.
Si U1 et U2 sont deux variables al´etoires ind´ependantes suivant chacune une loi uniforme sur [0,1], alors
X = p−2ln(U1)cos(2πU2)
est une variable al´eatoire suivant une loi normale centr´ee.
1. En utilisant le r´esultat ci-dessus, construisez une fonction normal(n) prenant comme param`etre n et cr´eant un vecteur colonne de taille n dont les entr´ees suivent une loi normal centr´ee.
Indication : Votre fonction devra d’abord cr´eer deux vecteurs dont les entr´ees suivent une loi uniforme sur [0,1] puis les combiner en utilisant la formule ci-dessus.
2. Avec votre function cr´eez un vecteur de taille n = 2000 puis construisez un histogramme h avec les valeurs obtenus.
3. A partir de l’histogramme obtenu, avec nlinfit comme dans le TP 3 exercice 3, effectuez une regression sur une famille de fonctions Gaussiennes
.
Quelles valeurs de A, µ et σ trouvez-vous? Repr´esentez sur un mˆeme graphique la Gaussienne obtenue et le nuage de points venant de l’histogramme.